Integración por sustitución trigonométrica (página 2)

Partes: 1, 2

Ejercicios resueltos En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida:

S o l u c i o n e s

MathType 5.0 Equation

Imagen de mapa de bits

Sustituyendo estos valores en
(1), se obtiene:

MathType 5.0 Equation

Imagen de mapa de bits

(Fig.1)

Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:

MathType 5.0 Equation

Documento Microsoft Office Word

Imagen de mapa de bits

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Imagen de mapa de bits

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Integración por
sustitución trigonométrica

Las sustituciones que involucran funciones
trigonométricas se pueden llevar a cabo en aquellas
integrales
cuyo integrando contiene una expresión de la forma:

$displaystyle {sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}},;sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}}, sqrt{b^{2}x^{2} - a^{2}}}$ con
y

La sustitución trigonométrica permite
transformar una integral en otra que contiene funciones
trigonométricas cuyo proceso de
integración es más sencillo.

Estudiaremos cada uno de los casos como sigue:

A
.Â Â Â Â Â Â Â
El integrando contiene una función de
la forma $displaystyle {sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}}}$ con

Se hace el cambio de
variable escribiendo

$displaystyle {x =frac{a}{b};sen;theta,}$ donde
$theta varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[; y ;x;varepsilon left]frac{-a}{b}, frac{a}{b}right[$

Si $displaystyle {x =frac{a}{b};sen;theta}$ entonces
$dx = frac{a}{b};cos;theta;dtheta$

Además:

$displaystyle {=sqrt{a^{2}(1-sen^{2}theta)} = sqrt{a^{2};cos^{2}theta} = vert a;cos;thetavert = a;cos;theta,}$ pues
y como

$displaystyle {theta varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$ entonces
por lo que

Luego: $displaystyle {sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}} = a;cos;theta}$

Como $displaystyle {x =frac{a}{b};sen;theta}$ entonces
$sen;theta = frac{bx}{a} ; y; theta = arcsenleft(frac{bx}{a}right)$

Para este caso, las otras funciones trigonométricas
pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:

Ejemplos:

1.	$displaystyle {int sqrt{16 - x^{2}};dx; x varepsilon ]-4,4[}$

Sea con $displaystyle {theta; varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$

Luego: $displaystyle {16-x^{2} = 16-16;sen^{2}theta = 16;(1-sen^{2}theta) = 16;cos^{2}theta}$

$displaystyle {sqrt{16-x^{2}} = 4;cos;theta}$

Sustituyendo:

$displaystyle {int sqrt{16-x^{2}};dx = int 4;cos;theta cdot 4;cos;theta;dtheta = 16int cos^{2}theta;dtheta}$

$displaystyle {= 16int frac{1+cos;2theta}{2};dtheta = 8int (1+cos;2theta);dtheta}$

$displaystyle {= 8;(theta + frac{1}{2};sen;theta) + C}$

Como entonces $displaystyle {sen;theta = frac{x}{4}}$ y $displaystyle {theta = arcsenleft(frac{x}{4}right)}$

Además $displaystyle {sqrt{16-x^{2}} = 4;cos;theta}$ por lo que
$displaystyle {cos;theta = frac{sqrt{16-x^{2}}}{4}}$

Estos resultados también pueden obtenerse a partir de
la figura siguiente:

Por último:

$displaystyle {int sqrt{16-x^{2}};dx = 8;theta + 8;sen;theta;cos;theta + C}$

$displaystyle {=8;arcsenleft(frac{x}{4}right) + 8cdot frac{x}{4}cdot frac{sqrt{16-x^{2}}}{4} + C}$

$displaystyle {int sqrt{16-x^{2}};dx = 8;arcsenleft(frac{x}{4}right) + frac{xsqrt{16-x^{2}}}{2} + C}$

2.	$displaystyle {int frac{dx}{xsqrt{25-4x^{2}}},; x varepsilon left]frac{-5}{2},frac{5}{2}right[}$

Sea $displaystyle {x = frac{5}{2};sen;theta,; theta; varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$

$displaystyle {dx = frac{5}{2};cos;theta;dtheta}$

Luego $displaystyle {25-4x^{2} = 25-4cdot frac{25}{4};sen^{2}theta = 25-25;sen^{2}theta}$

$displaystyle {25-4x^{2} = 25(1-sen^{2}theta) = 25;cos^{2}theta}$

$displaystyle {sqrt{25-4x^{2}} = 5;cos;theta}$

Sustituyendo

$displaystyle {int frac{dx}{xsqrt{25-4x^{2}}} = int frac{frac{5}{2};cos... ...sen;thetacdot 5;cos;theta} = frac{1}{5}int frac{dtheta}{sen;theta}}$

$displaystyle {=frac{1}{5}int csc;theta;dtheta}$

$displaystyle {=frac{1}{5} ;lnvert csc;theta - cot;thetavert + C}$

Como $displaystyle {x = frac{5}{2};sen;theta}$ entonces
$displaystyle {sen;theta = frac{2x}{5}}$ por lo que puede
utilizarse la siguiente figura para dar el resultado final:

$displaystyle {csc;theta = frac{1}{sen;theta} = frac{1}{frac{2x}{5}} = frac{5}{2x}}$

Luego:

$displaystyle {int frac{dx}{xsqrt{25-4x^{2}}} = frac{1}{5};lnleftvertfrac{5}{2x} - frac{sqrt{25-4x^{2}}}{2x} rightvert + C }$

3.	$displaystyle {int frac{x^{2};dx}{sqrt{4-x^{2}}},; x varepsilon ]-2,2[}$

Sea $displaystyle {x = 2;sen;theta; hspace{2cm} theta;varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$

Además: $displaystyle {4-x^{2} = 4-4;sen^{2}theta = 4;cos^{2}theta}$

$displaystyle { sqrt{4-x^{2}} = 2;cos;theta}$

Sustituyendo:

$displaystyle {int frac{x^{2};dx}{sqrt{4-x^{2}}} = int frac{(2;sen;theta)^{2};2;cos;theta;dtheta}{2;cos;theta}= 4 int sen^{2}theta ;dtheta}$

$displaystyle {= 4int frac{1-cos;2theta}{2};dtheta = 2 int (1 - cos;2theta);dtheta}$

$displaystyle {= 2left(theta - frac{1}{2};sen;2thetaright) + C}$

$displaystyle {= 2;arcsenleft(frac{x}{2}right) - 2;cdot frac{x}{2} cdot frac{sqrt{4-x^{2}}}{2} + C}$

$displaystyle {= 2;arcsenleft(frac{x}{2}right) - frac{x;(4-x^{2})}{2} + C}$

4.	$displaystyle {int frac{dx}{(5-x^{2})^{frac{3}{2}}},; x varepsilon ]-sqrt{5},sqrt{5}[}$

Sea $displaystyle {x = sqrt{5};sen;theta; hspace{2cm} theta;varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$

Luego $displaystyle {5-x^{2} = 5-5;sen^{2}theta = 5;cos^{2}theta}$

$displaystyle {(5-x^{2})^{frac{3}{2}} = (5;cos^{2}theta)^{frac{3}{2}} = sqrt{(5;cos^{2}theta)^{3}}}$

$displaystyle {(sqrt{5};cos;theta)^{3} = 5;sqrt{5};cos^{3}theta}$

Sustituyendo

$displaystyle {int frac{dx}{(5-x^{2})^{frac{3}{2}}} = int frac{sqrt{5};c... ...} int frac{dtheta}{cos^{2}theta} = frac{1}{5} int sec^{2}theta;dtheta}$

$displaystyle {= frac{1}{5};tan;theta + C}$

$displaystyle {= frac{1}{5}cdot frac{x}{sqrt{5-x^{2}}} + C}$

pues $displaystyle {sen;theta = frac{x}{sqrt{5}}}$ y
$displaystyle {cos;theta = frac{sqrt{5-x^{2}}}{sqrt{5}}}$

También puede utilizarse:

5.	$displaystyle {int x^{2};sqrt{25-x^{2}};dx}$ Ejercicio para el estudiante
6.	$displaystyle {int frac{x^{2}}{(4-x)^{frac{3}{2}}};dx}$ Ejercicio para el estudiante
7.	$displaystyle {int frac{x^{3};dx}{sqrt{16-x^{2}}}}$ Ejercicio para el estudiante

B)Â Â Â Â Â Â Â Â Â
Â Â Â El integrando contiene una
expresión de la forma $displaystyle {sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}}}$ con

Hacemos un cambio de variable escribiendo $displaystyle {x = frac{a}{b};tan;theta,}$ donde
$displaystyle {theta; varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$ y

Si $displaystyle {x = frac{a}{b};tan;theta}$ entonces
$displaystyle {dx = frac{a}{b};sec^{2}theta;dtheta}$

Además $displaystyle {sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}} = sqrt{a^{2} + b^{2} cdot frac{a^{2}}{b^{2}};tan^{2}theta} = sqrt{a^{2} + a^{2};tan^{2}theta}}$

$displaystyle {sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}} = sqrt{a^{2}(1+tan^{2}theta )} = sqrt{a^{2};sec^{2}theta} = vert a;sec;thetavert}$

Como y $displaystyle {theta; varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$ entonces
$displaystyle {sen;theta = frac{1}{cos;theta}}$ es
positiva

y por tanto $displaystyle {sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}} = a;sec;theta}$

Las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a
partir de la siguiente figura:

Ejemplos:

1.	$displaystyle {int frac{dx}{sqrt{4+x^{2}}}}$

Sea $displaystyle {x = 2;tan;theta, theta varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$

$displaystyle {dx = 2;sec^{2}theta;dtheta}$

Luego: $displaystyle {4+x^{2} = 4+4;tan^{2}theta = 4(1 + tan^{2}theta)}$

$displaystyle {4+x^{2} = 4;sec^{2}theta }$

$displaystyle {sqrt{4+x^{2}} = sqrt{4;sec^{2}theta} = vert 2;sec;thetavert = 2;sec;Theta}$

Sustituyendo

$displaystyle {int frac{dx}{sqrt{4+x^{2}}} = int frac{2;sec^{2}theta;dtheta}{2;sec;theta} = int sec;theta;dtheta}$

$displaystyle {int frac{dx}{sqrt{4+x^{2}}} = lnleftvert frac{sqrt{4+x^{2}}}{2} + frac{x}{2}rightvert + C}$

2.	$displaystyle {int frac{x^{2};dx}{sqrt{x^{2}+6}}}$

Sea $displaystyle {x = sqrt{6};tan;theta, theta varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$

$displaystyle {dx = sqrt{6};sec^{2}theta;dtheta}$

Luego: $displaystyle {x^{2} + 6 = 6;tan^{2}theta + 6 = 6(tan^{2}theta + 1) = 6;sec^{2}theta}$

$displaystyle {sqrt{x^{2}+6} = sqrt{6;sec^{2}theta} = sqrt{6};sec;theta... ...heta>0 si theta varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[right)}$

Sustituyendo

$displaystyle {int frac{x^{2}}{sqrt{^{2}+6}};dx = int frac{6;tan^{2}the... ...a;dtheta}{sqrt{6};sec;theta} = 6int tan^{2}theta;sec;theta;dtheta}$

$displaystyle {= 6 int (sec^{2}theta - 1);sec;theta;dtheta = 6int(sec^{3} - sec;theta);dtheta}$

$displaystyle {= 6 left[frac{1}{2}(sec;theta;tan;theta) + ln;vert sec... ...eta + tan;thetavertright] -6;ln;vert sec;theta + tan;thetavert + C}$

$displaystyle {= 3 cdot frac{sqrt{x^{2}+6}}{sqrt{6}}cdot frac{x}{sqrt{6}... ...;leftvertfrac{sqrt{x^{2}+6}}{sqrt{6}} + frac{x}{sqrt{6}}rightvert + C}$

$displaystyle {= frac{xsqrt{x^{2}+6}}{2} - 3;ln;leftvertfrac{sqrt{x^{2}+6} + x}{sqrt{6}}rightvert + C}$

3.	$displaystyle {int frac{x;dx}{(9+4x^{2})^{frac{3}{2}}}}$

Sea $displaystyle {x = frac{3}{2};tan;theta, theta varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$

$displaystyle {dx = frac{3}{2};sec^{2}theta;dtheta}$

Luego $displaystyle {9 + 4x^{2} = 9 + 4cdot frac{9}{4};tan^{2}theta = 9 + 9;tan^{2}theta = 9(1 + tan^{2}theta)}$

$displaystyle {9 + 4x^{2} = 9;sec^{2}theta}$

$displaystyle {(9 + 4x^{2})^{frac{3}{2}} = (9;sec^{2}theta)^{frac{3}{2}} = (9;sec^{2}theta)^{3}}$

$displaystyle {(9 + 4x^{2})^{frac{3}{2}} = (3;sec;theta)^{3} = 27;sec^{3}theta}$

Sustituyendo

$displaystyle {int frac{x;dx}{(9+4x^{2})^{frac{3}{2}}} = int frac{frac{3... ...}theta};dtheta = frac{1}{12} int frac{tan;theta;dtheta}{sec;theta}}$

$displaystyle {= frac{1}{12} int frac{frac{sen;theta}{cos;theta}}{frac... ...heta = frac{1}{12} int sen;theta;dtheta = frac{1}{12}(-cos;theta) + C}$

Como

$displaystyle {tan;theta = frac{2x}{3}}$ de la
sustitución inicial

Por tanto:

$displaystyle {int frac{x;dx}{(9+4x^{2})^{frac{3}{2}}} = frac{-1}{12} cdotfrac{3}{sqrt{9+4x^{2}}} + C}$

$displaystyle {= frac{-1}{4sqrt{9+4x^{2}}} + C }$

4.	$displaystyle {int frac{dx}{x^{4}sqrt{x^{2}+3}}}$

Sea $displaystyle {x = sqrt{3};tan;theta, theta varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$

$displaystyle {dx = sqrt{3};sec^{2}theta;dtheta}$

Luego $displaystyle {x^{2} + 3 = 3;tan^{2}theta + 3 = 3(tan^{2}theta + 1) = 3;sec^{2}theta}$

$displaystyle {sqrt{x^{2}+3} = sqrt{3;sec^{2}theta} = sqrt{3};sec;theta}$

Sustituyendo

$displaystyle {int frac{dx}{x^{4}sqrt{x^{2}+3}} = int frac{sqrt{3};sec^{... ...{3};sec;theta} = frac{1}{9}int frac{sec;theta;dtheta}{tan^{4}theta}}$

$displaystyle {= frac{1}{9} int frac{cos^{4}theta}{cos;thetacdot sen^{4}theta};dtheta = frac{1}{9}int frac{cos^{3}theta}{sen^{4}theta};dtheta}$

$displaystyle {= frac{1}{9} int frac{(1-sen^{2}theta)cos;theta}{sen^{4}t... ...n^{4}theta}- frac{sen^{2}theta;cos;theta}{sen^{4}theta}right);dtheta}$

$displaystyle {= frac{1}{9} int cos;theta(sen;theta)^{-4};dtheta - frac{1}{9}int cos;theta(sen;theta)^{-2};dtheta}$

$displaystyle {= frac{1}{9};frac{(sen;theta)^{-3}}{-3} - frac{1}{9};frac{(sen;theta)^{-1}}{-1} + C}$

$displaystyle {= frac{-1}{27;sen^{3}theta} + frac{csc;theta}{9} + C}$

Como entonces
$displaystyle {tan;theta = frac{x}{3}}$

Por lo que:

se obtiene: $displaystyle {sen;theta = frac{x}{sqrt{x^{2}+3}}, csc;theta = frac{sqrt{x^{2}+3}}{x}}$

Por último:

$displaystyle {int frac{dx}{x^{4}sqrt{x^{2}+3}} = frac{-(sqrt{x^{2} + 3})^{3}}{27;x^{3}} + frac{sqrt{x^{2}+3}}{9x} + C}$

5.	$displaystyle {int frac{sqrt{4x^{2}+1}}{x};dx}$ Ejercicio para el estudiante

6.	$displaystyle {int frac{x^{3};dx}{sqrt{9+3x^{2}}};dx}$ Ejercicio para el estudiante

El integrando contiene una expresión de la forma
$displaystyle {sqrt{b^{2}x^{2}- a^{2}}}$ con y

En este caso la sustitución adecuada es:

$displaystyle {x = frac{a}{b};sec;theta,}$ donde
$displaystyle {theta varepsilon left]0, frac{pi}{2}right[ ;U;left]pi, frac{3pi}{2} right[}$

y $displaystyle {x; varepsilon left]-infty, frac{-a}{b}right[ bigcup left]frac{a}{b}, +infty, right[, o; sea vert xvert>frac{a}{b}}$

Si $displaystyle {x = frac{a}{b};sec;theta}$ entonces
$displaystyle {dx = frac{a}{b};sec;theta;tan;theta;dtheta}$

Además $displaystyle {sqrt{b^{2}x^{2}-a^{2}} = sqrt{b^{2}cdot frac{a^{2}}{b^{2}}cdot sec^{2}theta -a^{2}} = sqrt{a^{2}(sec^{2}theta-1)}}$

de donde $displaystyle {sqrt{b^{2}x^{2} - a^{2}} = sqrt{a^{2};tan^{2}theta} = vert a;tan;thetavert = a;tan;theta,}$

pues y para $theta varepsilon left]0, frac{pi}{2}right[ bigcup left]pi, frac{3pi}{2}right[$

Como $displaystyle {x = frac{a}{b};sec;theta}$ entonces
$displaystyle {sec;theta = frac{bx}{a}}$ por lo que
$displaystyle {theta = arcsenleft(frac{bx}{a}right)}$

Utilizando el siguiente triángulo puede obtenerse las
otras funciones trigonométricas:

Ejemplos:

1.	$displaystyle {int frac{x;dx}{sqrt{x^{2}-9}}, vert xvert>3}$

Sea

$displaystyle {dx = 3;sec;theta;tan;theta;dtheta, theta varepsilon left]0, frac{pi}{2}right[ bigcup left]pi, frac{3pi}{2}right[}$

Luego $displaystyle {x^{2}-9= 9;sec^{2}theta-9 = 9(sec^{2}theta-1) = 9;tan^{2}theta}$

$displaystyle {sqrt{x^{2}-9} = sqrt{9;tan^{2}theta} = 3;tan;theta}$

Sustituyendo:

$displaystyle {int frac {x;dx}{sqrt{x^{2}-9}} = int frac{3;sec;theta cdot 3;sec;theta;tan;theta;dtheta}{3;tan;theta}}$

$displaystyle {= 3int sec^{2}theta;dtheta = 3;tan;theta + C = sqrt{x^{2}-9}}$

2.	$displaystyle {int frac{sqrt{4x^{2}-1}}{x};dx, vert xvert>frac{1}{4}}$

Sea $displaystyle {x = frac{1}{2};sec;theta}$

$displaystyle {dx = frac{1}{2};sec;theta;tan;theta;dtheta}$

Luego $displaystyle {4x^{2}-1= 4cdotfrac{1}{4};sec^{2}theta-1 = sec^{2}theta-1 = tan^{2}theta}$

$displaystyle {sqrt{4x^{2}-1} = sqrt{tan^{2}theta} = tan;theta}$

Sustituyendo:

$displaystyle {int frac{sqrt{4x^{2}-1}}{x};dx = int frac{tan;thetacdot frac{1}{2};sec;theta;tan;theta;dtheta}{frac{1}{2};sec;theta}}$

$displaystyle {= int tan^{2}theta;dtheta = int(sec^{2}theta-1);dtheta}$

$displaystyle {= int tan;theta - theta + C = sqrt{4x^{2}-1} - arcsec;(2x) + C}$

3.	$displaystyle {int frac{du}{u^{2}sqrt{u^{2}-8}}, vert uvert>2sqrt{2}}$

Sea

Luego $displaystyle {u^{2}-8= 8;sec^{2}theta-8 = 8(sec^{2}theta-1) = 8;tan^{2}theta}$

$displaystyle {sqrt{u^{2}-8} = sqrt{8;tan^{2}theta} = sqrt{8};tan;theta}$

Sustituyendo:

$displaystyle {int frac{du}{u^{2}sqrt{u^{2}-8}} = int frac{sqrt{8};sec;... ...2}theta;sqrt{8};tan;theta} = frac{1}{8}int frac{dtheta}{sec;theta}}$

$displaystyle {= frac{1}{8}int cos;theta;dtheta = frac{1}{8};sen;theta + C}$

Como $displaystyle {sec;theta = frac{u}{sqrt{8}}}$ puede
utilizarse la siguiente figura para determinar

Por último:

$displaystyle {int frac{du}{u^{2}sqrt{u^{2}-8}} = frac{1}{8};frac{sqrt{u^{2}-8}}{u} + C}$

4.	$displaystyle {int x^{3}sqrt{4x^{2}-9};dx}$ Ejercicio para el estudiante

5.	$displaystyle {int frac{sqrt{y^{2} - 25}}{y^{4}};dy}$ Ejercicio para el estudiante

Otras integrales en las que se utiliza alguna de las
sustituciones trigonométricas que hemos estudiado, son
aquellas que contienen una expresión de la forma
$displaystyle {(Ax^{2}+Bx+C)^{frac{1}{2}}}$ . En los
siguientes ejemplos se ilustra el procedimiento a
seguir:

Ejemplos:

1.	$displaystyle {int frac{dx}{sqrt{x^{2}-6x+13}}}$

Podemos escribir $x^{2}-6x+13$ como $x^{2}-6x+9+4$ o sea
$(x-3)^{2} + 4$

Luego $displaystyle {int frac{dx}{sqrt{(x-3)^{2}+4}}}$ es la
integral que debemos calcular

Sea $displaystyle {x - 3 = 2;tan;theta, theta varepsilon left]frac{-pi}{2}, frac{pi}{2}right[}$

$displaystyle {dx = 2;sec^{2}theta;dtheta}$

Luego $displaystyle {(x-3)^{2}+4= 4;tan^{2}theta + 4 = 4;sec^{2}theta}$

$displaystyle {sqrt{(x-3)^{2}+4} = sqrt{4;sec^{2}theta} = 2;sec;theta}$

Sustituyendo:

$displaystyle {int frac{dx}{sqrt{(x-3)^{2}+4}} = int frac{2;sec^{2}theta;dtheta}{2;sec;theta} = int sec;theta;dtheta}$

$displaystyle {=frac{1}{2};ln;vert sec;theta + tan;thetavert + C}$

$displaystyle {=frac{1}{2};ln;leftvertfrac{sqrt{(x-3)^{2}+4}}{2} + frac{x-3}{2}rightvert + C}$

$displaystyle {=frac{1}{2};ln;leftvertfrac{sqrt{(x-3)^{2}+4} + (x-3)}{2}rightvert + C, x;varepsilon I!!R}$

2.	$displaystyle {int frac{x^{2};dx}{sqrt{21+4x-x^{2}}}}$

Se tiene que: $displaystyle {21+4x-x^{2} = 21-(x^{2}-4x)}$

$displaystyle {= 21-(x^{2}-4x+4-4)}$

$displaystyle {= 21-(x-2)^{2}-4}$

$displaystyle {= 21-(x-2)^{2}+4 = 25-(x-2)^{2}}$

Luego la integral se convierte en: $displaystyle {int frac{x^{2};dx}{sqrt{25 - (x-2)^{2}}}}$

y se utiliza la sustitución de
donde:

Luego: $25-(x-2)^{2} = 25-25;sen^{2}theta = 25;cos^{2}theta$

$displaystyle {sqrt{25-(x-2)^{2}} = 5;cos;theta}$

Sustituyendo:

$displaystyle {int frac{x^{2};dx}{sqrt{25-(x-2)^{2}}} = int frac{(2+5;sen;theta)^{2};5;cos;theta;dtheta}{5;cos;theta}}$

$displaystyle {=int (4+20;sen;theta + 25;sen^{2}theta);dtheta}$

$displaystyle {=int 4;dtheta + 20int sen;theta;dtheta + 25int frac{1-cos;2theta}{2};dtheta}$

$displaystyle {=int 4;dtheta + 20int sen;theta;dtheta + frac{25}{2}int dtheta - frac{25}{2}int cos;2theta;dtheta}$

$displaystyle {=4;theta - 20;cos;theta + frac{25}{2};theta - frac{25}{4};sen;2theta + C}$

$displaystyle {=frac{33}{2};theta - 20;cos;theta + frac{25}{2};sen;theta;cos;theta + C}$

$displaystyle {=frac{33}{2};arcsenleft(frac{x-2}{5}right) - 20;frac{sqr... ...}}{5} + frac{25}{2}cdot frac{x-2}{5}cdot frac{sqrt{25-(x-2)^{2}}}{5} + C}$

$displaystyle {=frac{33}{2};arcsenleft(frac{x-2}{5}right) - 4sqrt{21+4x-x^{2}} + frac{(x-2)sqrt{21+4x-x^{2}}}{2} + C}$

con o sea

3.	$displaystyle {int frac{2x;dx}{sqrt{x^{2}+4x+3}}}$

Se tiene que $x^{2}+4x+3 = x^{2}+4x+4-1 = (x+2)^{2}-1$

por lo que $displaystyle {int frac{2x;dx}{sqrt{x^{2}+4x+3}} = frac{2x;dx}{sqrt{(x+2)^{2}}-1}}$ ,
con

sea de donde

Luego $(x+2)^{2} - 1 = sec^{2}theta-1 = tan^{2}theta$ y
$sqrt{(x+2)^{2}-1 = tan;theta}$

Sustituyendo

$displaystyle {int frac{2x;dx}{sqrt{(x+2)^{2}-1}} = int frac{2;(sec;theta-2);sec;theta;tan;theta;dtheta}{tan;theta}}$

$displaystyle {= 2int (sec^{2}theta-2;sec;theta);dtheta}$

$displaystyle {= 2sqrt{(x+2)^{2}-1}-4;ln;vert x+2+sqrt{x^{2}+4x+3}vert + C}$

4.	$displaystyle {int frac{(x+2);dx}{(3+2x-x^{2})^{frac{3}{2}}}}$

Se tiene que $3+2x-x^{2} = 4-(x-1)^{2}$ (completando
cuadrados)

Luego la integral que se debe determinar es:

$displaystyle {int frac{(x+2);dx}{left[4-(x-2)^{2}right]^{frac{3}{2}}}}$

Sea

Luego $4-(x-1)^{2} = 4-4;sen^{2}theta = 4(1-sen^{2}theta) = 4;cos^{2}theta$

$left(sqrt{4-(x-1)^{2}}right)^{3} = left(sqrt{4;cos^{2}theta}right)^{3} = (2;cos;theta)^{3} = 8;cos^{3}theta$

Sustituyendo

$displaystyle {int frac{(x+2);dx}{left[4-(x-2)^{2}right]^{frac{3}{2}}} = int frac{(1+2;sen;theta+2);2;cos;theta;dtheta}{8;cos^{3}theta}}$

$displaystyle {=frac{1}{4} int frac{(3+2sen;theta);dtheta}{cos^{2}theta... ...frac{3}{cos^{2}theta} + frac{2;sen;theta}{cos^{2}theta}right);dtheta}$

$displaystyle {=frac{3}{4}int sec^{2}theta;dtheta + frac{1}{2}cdot sen;theta;(cos;theta)^{-2};dtheta}$

$displaystyle {=frac{3}{4};tan;theta - frac{1}{2}cdot frac{(cos;theta)^{-1}}{-1} + C}$

$displaystyle {=frac{3}{4};tan;theta + frac{1}{2;cos;theta}+ C}$

Como entonces
$displaystyle {sen;theta = frac{x-1}{2}}$ y utilizando
que

se obtiene finalmente que

$displaystyle {=int frac{(x+2);dx}{(3+2x-x^{2})^{frac{3}{2}}} = frac{3}{4}cdot frac{(x-1)}{sqrt{4-(x-1)^{2}}} + frac{1}{sqrt{4-(x-1)^{2}}} + C,}$
con

En cada caso determine el intervalo sobre el cual es
válido el resultado.


5.	$displaystyle {int frac{(2x-3);dx}{(x^{2}+2x-3)^{frac{3}{2}}}}$ Ejercicio para el estudiante

6.	$displaystyle {int frac{sqrt{x^{2} + 2x}}{x+1};dx}$ Ejercicio para el estudiante

7.	$displaystyle {int frac{sec^{2}x;dx}{(4-tan^{2}x)^{frac{3}{2}}}}$ Ejercicio para el estudiante

8.	$displaystyle {int frac{e^{-x};dx}{(9;e^{-2x}+1)^{frac{3}{2}}}}$ Ejercicio para el estudiante

Autor:

Luis Teschi

Partes: 1, 2

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